문남에서 수학선생님이 푸셨던 문제네요ㅋㅋㅋㅋ
저도 첨에 이해하느라 힘들었어요
일단 풀이 자체는
빨주노초파남보 순으로 숫자를 0123456을 부여한 후,
각 죄수들이 자신의 눈에 보인 모든 모자의 번호를 더한후,
자신의 모자색을 더했을때, 7로 나눈 나머지가 각 죄수마다 0,1,2,...,6이 되도록 대답하면 그중 한명은 무조건 맞는다는 풀이인데요,
이게 왜 성립하냐면,
죄수들이 색을 알지 못해도 사형집행자가 모자를 씌운 순간,
7명의 모자의 수를 모두 더한 값은 누가 뭐래도 변하지 않는 상수 값이기 때문입니다.
예를들면 모자 수의 합이 30이라 해 봅시다.
그럼 7로 나눈 나머지는 2겠죠.
그럼 첫번째, 두번째 죄수는 모두 더한 값이 0,1로 대답했으니 틀리지만
세번째 죄수는 자신의 모자까지 합한 값이 30을 만들도록 대답을 하게 되므로 무조건 얻어걸립니다.

오호! 이렇게 이해하니 좀 더 쉽게 다가오는 듯 하네요 감사합니다!

위에 설명해주셨지만 첨언하자면... 수학에서의 '잉여류' 개념이 사용된 것 같습니다.
모든 자연수는 7을 기준으로 잡았을 때 7가지 그룹으로 분류할 수 있습니다. (7로 나눈 나머지가 0~6인 그룹)
각 죄수들에게 한 그룹씩을 할당하는 느낌이라고 생각하시면 됩니다. (죄수들의 '모자수'의 총합은 이미 정해져있고, 7개의 그룹 중 하나에 반드시 포함되기 때문이죠.)
즉, 어떤 죄수에겐 반드시 총 모자수의 합이 들어가있는 그룹이 할당된다는 거죠.
그럼 이런 질문을 하실 수 있습니다. '그 그룹 안엔 정답(총 모자수의 합)만 있는 것이 아닌데, 나머지를 맞춰준다고 해서 어떻게 정답이라고 확신하냐?'
확신할 수 있습니다. 총합에서 본인의 모자수(불확실한 수)를 뺀다 해도 0~7의 숫자밖에 빠지지 않습니다. 여기에 다시 어떤 수를 더해서 나머지를 맞춰준다? 반드시 더해야 하는 수는 본인의 모자수일 수 밖에 없는 겁니다. (다른 수를 더해서 나머지를 맞추려면 7을 넘어가거나, 음수를 더해야 하기 때문이죠.)
이해가 더 수월해지셨길 바라면서 ㅎㅎ