미궁게임 더라비린스
시누미 자유게시판 2021-09-14 17:42:18
 

몬티홀 문제에 대해서 추가로 궁금한 점

몬티홀 문제를 아시고, 풀이도 이해하고 계신분은 마지막 1, 2 숫자 문단으로 바로 넘어가시면 되겠습니다.


몬티홀 문제를 먼저 소개합니다.

미국의 TV게임쇼에서 유래된 딜레마문제인데, 여러분은 게임 참가자입니다. 세개의 닫힌 문이있고, 그 문중 두개의 문 뒤에는 염소가 있고, 나머지 하나의 문 뒤에는 고급 자동차가 있습니다.

여러분이 한번의 기회로, 고급 자동차가 있는 문을 선택한다면, 그 자동차를 상품으로 획득할 수 있습니다.


여러분은 세개의 문중 하나를 골랐습니다. 그런데 사회자가 이때 제안합니다. "제가 당신이 고르지 않은 두개의 문 중, 염소가 있는 하나의 문을 열어서 보여드리겠습니다!" 그리고는 진짜로 문을 열어 염소가 있는 다른 문을 확인시켜주었습니다.



 

그리고는 사회자가 말합니다. "선택을 바꾸실 기회를 한번 드리겠습니다. 선택을 바꾸시겠습니까"

여기서 문제입니다. 선택을 바꾸는 것이 나을까요?


이 문제의 답은 선택을 바꾸는 것이 낫다 입니다.

언뜻 보기엔 남은 문이 두개고 하나는 자동차, 하나는 염소이므로 확률이 반반이라 생각할 수 있지만,

처음에 골랐던 문이 염소일 확률이 2/3이므로, 나머지 하나가 공개되었을 때, 선택을 바꿔서 자동차일 확률이 그대로 2/3인 것입니다.





이 문제를 보다가 궁금한 점이 두가지 생겼습니다.


1. 조건을 조금 바꿔보겠습니다. 전지전능한 사회자가 없는 상황이고, 당신과 제가 서로 대결하는 게임을 하고 있는 상황입니다.

서로 번갈아서 문을 열어 먼저 자동차를 찾는 사람이 이기는 게임입니다. 그리고, 제가 선턴입니다.

당신은 마음속으로 문을 하나 골라놓았습니다.

웬걸 제가 당신이 고른 문이 아닌 다른 문을 골랐고, 그 뒤엔 다행히 염소가 있었습니다.

이 때도 당신은 선택을 바꾸는 것이 나을까요?

앞선 문제와의 차이점은 사회자가 염소가 있는 문을 알고 열어준 것이 아니라, 악당인 저 또한 아무것도 모르는 상황에서 확률적으로 당신이 선택하지 않은, 염소를 골랐다는 것입니다.

제 생각에 답은 똑같이 바꾸는게 2/3확률로 낫다 일 것 같긴 한데 확신이 안들어요ㅠㅠ


2. 처음 상황과 똑같습니다. 하지만 이번엔 문이 네개입니다. (차 1 염소 3)

여러분은 하나의 문을 골랐고, 사회자가 남은 세개의 문중 염소가 있는 문을 하나 열어서 보여주어서 이제 남은 문이 세개가 되었습니다.

이때도 선택을 바꾸는 것이 맞을까요?

제 생각은 처음에 고른 것이 염소일 확률이 3/4이고, 이때 남은 문들 중 선택을 바꿔서 자동차일 확률이 1/2이므로, 전체적으로는 선택을 바꿔서 자동차일 확률이 (3/4)X(1/2)=3/8 이므로 바꾸지 않는 것이 낫다......?라는 생각을 했는데 바꾸지 않고 맞을 확률이 5/8나 된다고? 뭔가 이상해요.

제 계산방식의 오류를 찾아주시면 감사하겠습니다.

(글을 쓰던 도중 2번 궁금증은 혼자서 해결이 된 것 같습니다. 다만 재밌으니까 지우지 않고 여러분께도 맡겨보겠습니다!)

  • CLEAR 3000 2022-04-26 19:29:02
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댓글

삐약 2021-09-14 17:45 _
0
염소라도주세요
시누미 2021-09-14 17:48 _
0
아 ㅋㅋ 염소만해도 개이득이지
멀티플레이어 2021-09-14 17:52 _
0
1. 사회자(또는 상대)의 의도가 확률에 반영되는 경우는 아니므로 별 상관 없을 것 같긴 한데 확신이 안 드네요
멀티플레이어 2021-09-14 17:53 _
0
2. 3/8로 계산했다면 그 계산 결과는 '다른 두 문 중 한 문을 선택했을 때 자동차일 확률'이므로 한 문에만 해당되는 확률입니다. 3/8, 3/8, 1/4로 각각 문에 확률을 할당해야 맞는 계산일듯
프로기만러 2021-09-14 18:03 (수정됨) _
0
1번 1/2
2번 3/8
Black체리 2021-09-14 18:05 _
0
요즘 염소값이 금값인데...
tvom 2021-09-14 18:08 _
0
1은 상대방이 고른문이 '무조건 염소'다라는거니까 1/2일것 같아요
시누미 2021-09-14 18:10 _
0
1번이 재밌네여
tvom 2021-09-14 18:16 (수정됨) _
0
아니다 2번은 잘모르겠어요
멀티플레이어 2021-09-14 18:29 _
0
'문을 이미 고른 상태'인 게 더 중요하지 않을까요?
뒤퍽이 2021-09-14 18:51 (수정됨) _
0
1번은 내가 고른 문을 사회자가 고른 경우, 사회자가 정답 문을 연 경우가 아예 없으니까, 가능한 경우는

내가 정답 문을 속으로 고르고 있었는데 사회자가 나머지 두 문을 연 2가지 케이스,

내가 오답 문을 속으로 고르고 있었는데 사회자가 오답 문을 연 1가지 케이스 * 오답 문의 개수가 2개.

여서 확률은 같은 것 같아요.
설붕이 2021-09-14 18:53 _
0
1번은 내가 아닌 문 중 하나가 염소로 밝혀졌을 때 선택을 바꿔야 이길 조건부확률이라 생각하면 원본 문제랑 똑같이 2/3일 거에요
*중요: 아님말고
삐약 2021-09-14 19:04 _
0
몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬스터몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀몬티홀
시누미 2021-09-14 19:40 _
0
1번문제, 조건부확률 공식을 써서 1/2인걸 증명했습니다. 다만 직관적으로 와닿지 않는게 문제네여
3strikerz 2021-09-14 19:43 _
0
1번은 문제를 조금 바꾸면 이렇게 돼요.
"당첨 제비 1장을 포함한 총 3장의 제비가 들어 있는 상자가 있다.
A가 한 장을 뽑았고, 이후 B가 한 장을 뽑았다.
B가 뽑은 제비를 열어봤을 때 꽝이었다고 한다면, A가 뽑은 제비가 당첨일 확률은?"
이 경우에는 상당히 직관적으로 1/2라고 할 수 있을 것 같아요.
2번은 선택을 바꿔서 자동차일 확률이 '바꾼 각 문마다' 3/8이니까 현재 내 문의 당첨확률 1/4보다는 클 테니 바꾸는 게 정답이라고 봐요.
broryda 2021-09-14 20:39 _
0
2번은 결국 둘중에 하나를 또 선택하니 최종적으로 1/2를 곱해서 3/8이 되는것이고, 1번은 간단하게 1:1게임이라 반반이 나옵니다.
tvom 2021-09-14 20:45 (수정됨) _
0
1번을 가장 직관적으로 이해하는방법은 노가다이죠


사건의 구분을 위해서 염소를 고르는사건을 염소일과 염소이로 둘께요

[사건] [자동차] [염소일] [염소이]
----------------------------------
[일번] [나자신] [상대방] [   ]
[이번] [나자신] [   ] [상대방]
[삼번] [상대방] [나자신] [   ]
[사번] [상대방] [   ] [나자신]
[오번] [   ] [나자신] [상대방]
[육번] [   ] [상대방] [나자신] (실수로 오번을 적었네요)

위와같이 총 6가지가 나오겠죠? (3_P_2니까요)

그런데 문제의 조건은 "상대방은 염소를 골랐다"라는 거에요
따라서 [삼번]과 [사번]은 문제의 조건에 안맞죠

[사건] [자동차] [염소일] [염소이]
----------------------------------
[일번] [나자신] [상대방] [   ]
[이번] [나자신] [   ] [상대방]
[오번] [   ] [나자신] [상대방]
[육번] [   ] [상대방] [나자신]

결국 가능한 사건집합의수는 위와같이 4개가 되는데
2개는 내가 무조건 바꾸면이기고
2개는 내가 바꾸면 지는경우네요
그래서 50대 50이에요
범룽 2021-09-14 20:51 _
0
디피 꿀잼
프로댓글러 2021-09-14 22:00 _
0
뭐라도 주세요
시누미 2021-09-14 22:55 _
0
모두들 관심가져주셔서 감사합니다! 누군가가 염소를 고르면 무조건 바꾸는게 맞다는 관념이 어쩌면 위험할 수도 있다는게 재밌네요ㅋㅋ
pathmaker 2021-09-18 10:04 _
0
몬티홀은 극단적으로 생각하면 쉽습니다.

문이 3개가 아니라 10만개가 있다고 가정할 경우

사회자가 내가 선택한 문과 다른 하나의 문을 제외한 모든 문을 열어준다면
내가 선택한 1/100000과, 사회자가 남긴 하나의 문을 제외한 99998/100000확률의 염소가 날아갑니다.

이 상태에서 바꿀지 말지 결정하라 했다고 생각하면
당연히 바꾸는 것이 압도적으로 유리합니다.

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